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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 5 - Polinomio de Taylor

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5.2. Calcular el polinomio de Taylor de las siguientes funciones del orden indicado centrado en x0x_{0}.
c) f(x)=cos⁡(x)f(x)=\cos (x) de orden 10 con x0=0x_{0}=0.

Respuesta

Nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden 1010 centrado en x=0x=0 de la función f(x)=cos⁡(x)f(x)=\cos (x)

Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura (respirá hondo... ahí va)

p(x)=f(0)+f′(0)1!x+f′′(0)2!x2+f′′′(0)3!x3+f(4)(0)4!x4+f(5)(0)5!x5+f(6)(0)6!x6+f(7)(0)7!x7+f(8)(0)8!x8+f(9)(0)9!x9+f(10)(0)10!x10 p(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \frac{f^{(5)}(0)}{5!}x^5 + \frac{f^{(6)}(0)}{6!}x^6 + \frac{f^{(7)}(0)}{7!}x^7 + \frac{f^{(8)}(0)}{8!}x^8 + \frac{f^{(9)}(0)}{9!}x^9 + \frac{f^{(10)}(0)}{10!}x^{10}

Esto lo podríamos escribir de una forma mucho más compacta así:

p(x)=∑n=010f(n)(0)n!xn p(x) = \sum_{n=0}^{10} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n

Bueno, arrancamos, tenemos que evaluar ff y sus derivadas en x=0x=0. Ahora, tené en cuenta que en todas las derivadas impares nos va a aparecer un seno, que cuando lo evaluemos en x=0x=0 nos va a dar cero. Por eso, en realidad sólo vamos a tener que considerar las derivadas de orden par:

- f(0)=cos⁡(0)=1 f(0) = \cos(0) = 1 - f′′(0)=−cos⁡(0)=−1 f''(0) = -\cos(0) = -1 - f(4)(0)=cos⁡(0)=1 f^{(4)}(0) = \cos(0) = 1 - f(6)(0)=−cos⁡(0)=−1 f^{(6)}(0) = -\cos(0) = -1 - f(8)(0)=cos⁡(0)=1 f^{(8)}(0) = \cos(0) = 1 - f(10)(0)=−cos⁡(0)=−1 f^{(10)}(0) = -\cos(0) = -1

Reemplazando en el esqueleto de nuestro polinomio de Taylor nos queda:

p(x)=1−x22!+x44!−x66!+x88!−x1010! p(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \frac{x^8}{8!} - \frac{x^{10}}{10!}
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